Fermat-Wiles : กับโจทย์คณิตศาสตร์ที่ยากที่สุดในโลก

Fermat-Wiles : กับโจทย์คณิตศาสตร์ที่ยากที่สุดในโลก

 

Pierre de Fermat เกิดเมื่อวันที่ 20 สิงหาคม พ.ศ.2144 ที่เมือง Beaumont-de-Lomagne ในประเทศฝรั่งเศส ในวัยหนุ่มเขาทำงานเป็นทนายความ ประเพณีนิยมของฝรั่งเศสในสมัยนั้นห้ามมิให้ทนายและผู้พิพากษาคนใดสุงสิง สังคม เพราะชาวเมืองเกรงจะเกิดความลำเอียงเวลาพิจารณาคดี Fermat จึงใช้เวลาในยามค่ำคืนศึกษาวิชาคณิตศาสตร์เป็นงานอดิเรก

ถึงแม้จะเป็นเพียงนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นก็ตาม แต่เขาก็ประสบความสำเร็จมากเพราะได้พัฒนาทฤษฎีความเป็นไปได้ (probability theory) และวางรากฐานของวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ให้ Newton ได้สร้างวิชาแคลคูลัสในเวลาต่อมา

โลกรู้จัก Fermat ในฐานะนักคณิตศาสตร์ที่มีความเชี่ยวชาญด้านทฤษฎีจำนวน (number theory) อันเป็นวิชาที่ว่าด้วยเลขจำนวนเต็มต่างๆ เช่น 1, 2, 3, 10… และความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเต็มเหล่านี้ ตามปรกติ Fermat ชอบตั้งโจทย์ให้นักคณิตศาสตร์อื่นๆ คิด โดยในปี พ.ศ.2180 เขาได้ตั้งโจทย์คณิตศาสตร์ขึ้นมาโจทย์หนึ่ง ซึ่งคนทั่วไปรู้จักโจทย์นี้ในนามว่า ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat (Fermat’s Last Theorem) หลังจากที่ได้อ่านตำราคณิตศาสตร์ Arithmetica ของนักปราชญ์กรีกโบราณชื่อ Diophantus แห่งเมือง Alexandria ซึ่งหนังสือเล่มนั้นได้กล่าวถึงสมการของ Pythagoras ที่แถลงว่า a2 + b2 จะเท่ากับ c2 ถ้า a และ b เป็นความยาวของด้านที่ประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมทุกรูป สมการนี้มีคำตอบนับไม่ถ้วน เช่น ถ้า a = 3 และ b = 4 แล้วจะได้ c = 5 เพราะ 32 + 42 = 52 หรือเมื่อ a = 5, b = 12 แล้วเราจะได้ c = 13 เป็นต้น

Fermat ได้เลียนแบบความคิดนี้แล้วเสนอทฤษฎีใหม่ว่า หากเรามีสมการ an + bn = cn และ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 2 คือเป็น 3, 4, 5… อสงไขยแล้ว เราจะไม่สามารถหาเลข a, b, c ที่เป็นเลขจำนวนเต็มมาแทนลงในสมการข้างบนได้เลย เช่น ถ้า n = 7 สมการ a7 + b7 = c7 จะไม่มีคำตอบที่ a, b, c เป็นเลขจำนวนเต็ม หรือสมการ a12 + b12 = c12 ก็ไม่มีคำตอบที่ a, b, c เป็นเลขจำนวนเต็มอีกเช่นกัน

ดังนั้น จึงเป็นเรื่องประหลาดที่กรณี n = 2 เรามีเลข (3, 4, 5) และ (5, 12, 13) เป็นคำตอบ แต่ในกรณี n มีค่ามากกว่า 2 ขึ้นไป เรากลับไม่มีคำตอบ (a, b, c) เป็นเลขจำนวนเต็มเลย ไม่ว่า n จะมีค่าเท่าใด

Fermat เองหลังจากที่ได้ตั้งทฤษฎีบทนี้แล้วเขาได้อ้างว่า เขาสามารถพิสูจน์ทฤษฎีนี้ได้โดยได้เขียนวิธีพิสูจน์ไว้ที่ขอบของหนังสือ Arithmetica ที่เขาได้จัดพิมพ์ใหม่ในปี พ.ศ.2213 ว่า “เพราะขอบหนังสือมีเนื้อที่น้อย เขาจึงไม่สามารถแสดงวิชาพิสูจน์ทฤษฎีนี้ให้ทุกคนประจักษ์ได้” นับจากวันนั้น จนกระทั่งวันนี้ซึ่งเป็นเวลาที่ล่วงเลยมานานถึง 358 ปี เหล่านักคณิตศาสตร์ทั่วโลกได้ทุ่มเทความพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อย่างสุด ฤทธิ์ สุดเดช แต่ทุกคนก็ต้องประสบความล้มเหลว ตัว Fermat เองได้ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เฉพาะกรณี n = 3

ในปี พ.ศ.2285 L.Euler นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสที่มีชื่อเสียงที่สุดในสมัยนั้น ได้พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เช่นกัน เขาพบว่าทฤษฎีบทนี้จริง และถูกต้องกรณี n = 3 แต่เขาไม่สามารถพิสูจน์กรณี n เป็นเลขจำนวนเต็มอื่นๆ เขารู้สึกรำคาญและหงุดหงิดถึงขนาดขอร้องให้เพื่อนของเขาช่วยค้นบ้านของ Fermat เพื่อหากระดาษที่ Fermat แสดงวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของเขา แต่ก็ไม่พบร่องรอยอะไรเลย

C. F. gauss ผู้เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ยิ่งใหญ่อีกท่านหนึ่ง สามารถพิสูจน์ได้ว่า ทฤษฎีบทนี้เป็นจริงกรณี n = 4 แต่เมื่อเขาไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่า ทฤษฎีบทนี้จริงกรณี n มีค่าอื่นๆ เขาถึงกับงอแง โดยได้ประกาศว่า เขาก็สามารถตั้งทฤษฎีให้ใครไม่สามารถพิสูจน์ได้เหมือนกัน D.Hilbert เป็น นักคณิตศาสตร์อัจฉริยะคนหนึ่งที่ไม่เคยพยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ โดยให้เหตุผลว่า หากจะพิสูจน์เขาต้องการเวลาอย่างน้อย 3 ปี เพื่อทำความรู้จักกับเทคนิคและวิธีการพิสูจน์เพื่อเป็นพื้นฐาน ถึงกระนั้นเขาก็ไม่แน่ใจเลยว่าขนาดเตรียมตัวดีและนานถึงปานนั้นแล้วเขาก็จะ สามารถพิสูจน์ได้

ในปี พ.ศ.2451 P.Wolfskehl นักอุตสาหกรรมชาวเยอรมันได้เขียนมรดกยกเงิน 1 แสนมาร์กแก่นักคณิตศาสตร์คนแรกที่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีของ Fermat ได้ ตัว Wolfskehl เอง ครั้งหนึ่งได้เคยคิดจะฆ่าตัวตาย แต่เมื่อได้รู้จักทฤษฎีของ Fermat เข้า เขาเกิดลุ่มหลงโจทย์นี้และได้พยายามพิสูจน์อยู่นานจนลืมคิดจะฆ่าตัวตาย พอรู้ตัวก็ได้รู้สึกกตัญญูต่อโจทย์ๆ นี้มาก จึงแบ่งมรดกยกเงินของตัวให้เป็นรางวัลตอบแทนบุญคุณที่ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ได้ช่วยชีวิตเขาไม่ให้ตายก่อนวัยอันควร

เมื่อโลกก้าวเข้าสู่ยุคคอมพิวเตอร์ S. Wagstaff แห่งมหาวิทยาลัย Purdue ในสหรัฐฯ ได้ใช้คอมพิวเตอร์ค้นหาเลข a, b, c ในกรณีที่ n มีค่าตั้งแต่ 3 ถึง 150,000 และก็ได้พบว่า ทฤษฎีบทสุดท้ายก็ยังคงเป็นจริง แต่ในกรณีที่ n มีค่ามากกว่า 150,000 นั้น เขาไม่ได้ทำ

เมื่อไม่มีนักคณิตศาสตร์ท่านใดพิสูจน์ทฤษฎีนี้ได้ หลายคนจึงคิดว่าทฤษฎีบทนี้คงไม่มีวิธีพิสูจน์ คนหลายคนคิดว่าทฤษฎีนี้แปลกเพราะไม่ได้บอกว่าทฤษฎีนี้จริงหรือไม่จริงอย่าง ไร และหลายคนคิดว่าใครก็ตามที่คิดจะพิสูจน์ทฤษฎีนี้ควรเอาเวลาไปแก้ปัญหาอื่นดี กว่า

แต่ในวันที่ 23 มิถุนายน ของปี พ.ศ.2536 นั่นเอง A.J. Wiles นักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย Princeton ในสหรัฐอเมริกา ได้ออกแถลงการณ์ที่มหาวิทยาลัย Cambridge ในประเทศอังกฤษว่า เขาประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Fermat แล้ว สื่อมวลชนทั่วโลกได้เสนอข่าวที่ยิ่งใหญ่นี้ในหน้าหนึ่งหนังสือพิมพ์ The New York Times พาดข่าวหน้าหนึ่งว่า “Eureka” ยกย่องความสำเร็จนี้

แต่เมื่อผู้ทรงคุณวุฒิท่านหนึ่งได้อ่านวิธีพิสูจน์ของ Wiles และได้พบข้อผิดพลาด Wiles จึงต้องพิสูจน์ใหม่ อุปสรรคนี้ได้ทำให้เขารู้สึกหดหู่ และท้อแท้มาก เขาและศิษย์ชื่อ R. Taylor จึงได้ใช้เวลาอีก 14 เดือน แก้ไขข้อผิดพลาด จนกระทั่งทำได้สำเร็จเมื่อวันที่ 19 กันยายน พ.ศ.2537 และผลงานของเขาได้รับการลงพิมพ์ในวารสาร Annals of Mathematics ฉบับเดือนพฤษภาคม พ.ศ.2538

A.J. Wiles ในวัยเด็กชอบคณิตศาสตร์มาก เขารู้จักทฤษฎีของ Fermat จากการอ่านหนังสือห้องสมุดของเมือง Cambridge ถึงแม้จะมีอายุน้อยเพียง 10 ขวบ แต่เขาก็ตั้งใจมั่นว่าสักวันหนึ่งเขาจะต้องหาวิธีพิสูจน์ทฤษฎีนี้ให้ได้ ครูที่สอนคณิตศาสตร์เขาได้เตือนเขาให้ล้มเลิกความคิดที่จะทำงานที่เป็นไปไม่ ได้ แต่ Wiles ก็ไม่ยอมทิ้งความตั้งใจ เมื่อเขาสำเร็จการศึกษาคณิตศาสตร์ระดับปริญญาเอก จากมหาวิทยาลัย Cambridge เขาได้สมัครทำงานเป็นอาจารย์ที่มหาวิทยาลัย Princeton ในสหรัฐอเมริกา และได้ตัดสินใจหาวิธีพิสูจน์ทฤษฎีของ Fermat อย่างจริงจัง เขาทำงานคนเดียวแบบไม่ให้โลกภายนอกรู้ ทั้งเพื่อไม่ให้มีความกดดันจากสังคมรอบข้าง เขาไม่ต้องการให้ใครรู้วิธีพิสูจน์ของเขา เขาไม่ต้องการให้ใครขโมยความคิดของเขา ดังนั้นตลอดระยะเวลา 7 ปีที่ซุ่มเงียบนั้น มีแต่เขาและภรรยาเท่านั้นที่รู้ว่าเขากำลังทำอะไร และภรรยาก็รู้ความลับนี้ในขณะไปดื่มน้ำผึ้งพระจันทร์กับสามี

ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat นั้น Wiles ต้องใช้ความรู้คณิตศาสตร์ยุคปัจจุบันมากมาย ยามใดที่ความรู้เหล่านั้นไม่พอเพียง เขาต้องสร้างความรู้ใหม่ขึ้นมาเพิ่มเติม เขาได้เปรียบประสบการณ์ทำงานของเขาช่วงนั้นว่า เสมือนเดินอยู่คนเดียวในคฤหาสน์หลังใหญ่ที่มืดสนิท เมื่อเขาเดินเข้าไปในห้องแรก เขาเดินสะดุดเฟอร์นิเจอร์ต่างๆ แต่พอเวลาผ่านไประยะหนึ่งเขาก็เริ่มรู้ว่า โต๊ะ เก้าอี้ อยู่ที่ใด หลังจากนั้นอีกประมาณ 6 เดือน เขาก็พบสวิตช์ไฟฟ้าในห้อง พอเขาเปิดสวิตช์ เขาก็รู้ว่า เขายืนอยู่ที่ใดในห้อง และในห้องนั้นมีอะไรบ้าง จากห้องแรกเขาก็เดินต่อไปยังห้องสอง ในบางห้องเขาต้องใช้เวลาสำรวจนาน บางห้องก็ใช้เวลาสั้น เขาสำรวจเช่นนี้ในห้องทุกห้องของคฤหาสน์หลังนั้น และเมื่อเขาเปิดสวิตช์ไฟทั้งบ้าน เขาก็พบวิธีพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Fermat อย่างสมบูรณ์ เขาได้อุปมาขั้นตอนในการพิสูจน์ของเขาว่า เสมือนกับการล้มของตัว domino ที่วางเรียงกันต่อเนื่องแบบไม่รู้จบ หากเขาล้มตัว domino ตัวแรก ตัวแรกก็จะล้มทับตัวที่สองต่อไปเรื่อยๆ นั่นคือ เมื่อเขาพิสูจน์ได้ว่า กรณี n = 3 เป็นจริง แล้วกรณี n = 3 ก็จะชี้นำว่ากรณี n = 4 ก็จริง แล้วกรณี n = 4 ก็จะชี้บอกว่า n = 5 ….ก็จริง ดังนั้นจึงแสดงว่า n จะเป็นเลขอะไรสมการก็จริงหมด

ในการทำงาน Wiles ต้องพิสูจน์ทุกขั้นตอนอย่างละเอียดและรอบคอบ วิธีคิดของเขาลึกล้ำและสวยงาม โลกมีนักคณิตศาสตร์ประมาณ 10 คน เท่านั้น ที่อ่านวิธีพิสูจน์ของ Wiles ได้อย่างเข้าใจจริง งานวิจัยของเขาที่มีความยาว 200 หน้ากระดาษ ได้บุกเบิกวิทยาการใหม่ๆ และ Wiles ได้รับรางวัลและเหรียญเกียรติยศมากมาย รวมทั้งเหรียญ Fields ซึ่งมีเกียรติเท่ากับรางวัลโนเบลทางคณิตศาสตร์เมื่อปี พ.ศ.2539 และเมื่อเดือนมิถุนายนปี พ.ศ.2539 ณ ที่หอประชุมของมหาวิทยาลัย Gottingen ในประเทศเยอรมนี Wiles ก็ได้รับรางวัล Wolfskehl มูลค่า 2 ล้านบาทเรียบร้อย

ถึงแม้ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat จะได้รับการพิสูจน์แล้วว่าจริงและโลกถือว่าปัญหานี้ได้ยุติลงแล้ว แต่ก็มีนักคณิตศาสตร์อีกหลายคนที่คิดว่าวิธีพิสูจน์ของ Wiles นั้นยาวและยุ่ง และทฤษฎีนี้คงมีวิธีพิสูจน์ที่สั้นซึ่งนี่ก็คือ ปัญหาสำหรับนักคณิตศาสตร์ในอนาคต

ในปี พ.ศ.2540 Simon Singh ได้เขียนหนังสือชื่อ Fermat’s Last Theorem : The Story of a Riddle that Confounded the World’s Greatest Minds for 358 Years หนังสือ เล่มนี้ได้กล่าวถึงชีวิตและจิตวิญญาณในการทำงานของนักคณิตศาสตร์ต่างๆ ที่ได้ทุ่มเทกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อย่างจับใจ และเข้าใจ